Generalized Golden-Fibonacci calculus and applications

Abstract

In the present thesis the Golden-Fibonacci calculus is developed and several applications of this calculus are obtained. The calculus is based on the Golden derivative as a finite difference operator with Golden and Silver ratio bases, which allowed us to introduce Golden polynomials and Taylor expansion in terms of these polynomials. The Golden binomial and its expansion in terms of Fibonomial coefficients is derived. We proved that Golden binomials coincide with Carlitz’ characteristic polynomials. By Golden Fibonacci exponential functions and related entire functions, the Golden-heat and the Golden-wave equations are introduced and solved. By introducing higher order Golden Fibonacci derivatives, related with powers of golden ratio, we develop the higher order Golden Fibonacci calculus. The higher order Fibonacci numbers, higher Golden periodic functions and higher Fibonomials appear as ingredients of this calculus. By using Golden Fibonacci exponential function, we introduce the generating function for new type of polynomials, the Bernoulli-Fibonacci polynomials and study their properties. As a geometrical application, the Apollonious type gaskets are described in terms of Fibonacci, Lucas and generalized Fibonacci numbers. Some mod 5 congruencies associated with Fibonacci and Lucas numbers are obtained.

Bu tezde, Altın-Fibonacci hesaplaması geliştirilmiş ve bu hesaplamanın çeşitli uygulamaları elde edilmiştir. Bu hesaplama, altın polinomları ve bu polinomlar cinsinden yazılan Taylor açılımını tanıtmamıza izin veren, altın ve gümüş oran tabanları ile sonlu bir fark operatörü olarak yazılan Altın türevine dayanır. Altın binomu ve altın binomun Fibonomial katsayıları cinsinden açılımı türetilmiştir. Altın binomlarının Carlitz’in karakteristik polinomları ile eşleştiğini ispatladık. Altın Fibonacci üstel fonksiyonları ve ilgili analitik fonksiyonları ile, Altın-ısı ve Altın-dalga denklemleri tanıtılmış ve çözülmüştür. Altın oranın kuvvetleri ile ilgili olan yüksek mertebeden Altın Fibonacci türevlerini tanımlayarak, yüksek mertebeden Altın Fibonacci hesaplamasını geliştiririz. Yüksek mertebeden Fibonacci sayıları, yüksek Altın periodik fonksiyonlar ve yüksek Fibonomialler bu hesaplamanın bileşenleri olarak görünür. Altın Fibonacci üstel fonksiyonunu kullanarak, yeni tip polinom olan Bernoulli-Fibonacci polinomları için üretim fonksiyonunu tanıttık ve bu polinomların özelliklerini inceledik. Geometriksel bir uygulama olarak, Apollonious’un teğet çemberler dizisi Fibonacci, Lucas ve genelleştirilmiş Fibonacci sayıları cinsinden tanımlanmıştır. Fibonacci ve Lucas sayıları ile ilişkili bazı mod 5 denklikleri elde edilmiştir.