Stability analysis of nonlinear dynamical systems with Lévy typeperturbations

Abstract

In order to model the noise in power networks, generally, normal distribution is used. However, normal distribution is not convenient in modelling noise which has sudden peaks. Instead, combination of a continuous process and a jump processes is much more suitable. With this idea in mind, in this thesis, the stability and control of two equations used in modeling power grids is analyzed, under the assumption that they are exposed to Lévy process noise which includes jumps. These equations are the swing equation and the Kuramoto Model. The swing equation is used to model the single machine infinite bus system (SMIBS). Kuramoto Model is used when a large number of generators are considered as a network of coupled oscillators with their own natural frequencies. In our stability control study in the SMIBS, the noise in the system has sudden and finite changes is assumed and therefore should be modelled with a modified tempered α-stable process obtained by adding a finite jump condition on the tempered α-stable process when α < 1. The control functions depending on the mechanical power input and damping parameters are designed in order to make the system stable in probability and exponential stable at its equilibrium point. These theoretical results are supported by numerical studies. For Kuromato model, assuming that the power network consists of two layers, namely oscillator, and control layers and that is affected with a general Lévy process which has finite jumps, functions which provide the stability of phase and frequencies are obtained, depending on oscillator and coupling strengths. In the light of the numerical studies, the control of frequency and phase synchronization up to a certain noise intensity level can be evaluated, but it is not possible beyond that level is concluded.

Güç sistemlerindeki gürültünün modellenmesinde sıklıkla normal dagılım kullanılır. Halbuki normal dagılım, ani sıçramaları da içeren gürültüyü modellemek için uygun degildir. Sistemdeki gürültünün sürekli bir süreç yanında, sıçramalı süreçler ile modellenmesi çok daha uygundur. Bu tezde, güç sistemlerini modelleyen temel iki denklemin sonlu sıçramaları içeren Lévy süreçlerle etkilendigi zamandaki kararlılık analizi ve kontrolünü çalışıldı. Denklemlerden ilki tek makine sonsuz bara güç sistemini (TMSBS) modelleyen salıncak denklemi, digeri ise çok sayıdaki jenarötörün, kritik bir baglantı degeri ile birbirine bağlı doğal frekanslara sahip osilatörler olarak kabul edildigi Kuramoto Modelidir. TMSBS'in kararlılık kontrolü için yapılan çalışmada sistemde yer alan gürültünün ani ve sonlu degişikliğe sahip olduğu, bu nedenle α < 1 için temperlenmiş α-stabil süreci üzerinde sonlu sıçrama ¸sartı eklenerek elde ettigimiz modifiye temperlenmiş α stabil süreçi ile modellenmesi gerektigi kabul edildi. Sistemin denge noktasının bu tip bir gürültü altında temel kararlıklık çe¸sitlerinden olasılıksal kararlılık ve olasılıksal üstel kararlıga sahip olması için mekanik güç ve sönüm parametrelerine bağlı olarak kontrol fonksiyonları olu¸sturuldu. Elde edilen teorik sonuçları nümerik çalışmalar ile desteklendi. Kuramoto modeli için güç sisteminin osilatör ve kontrol katmanlarından oluşan çift katlı bir yapıda oldugunu ve bu yapının sonlu sıçramalara sahip genel bir Lévy süreci ile etkilendigi varsayımı altında bu ağın faz açılarının ve sıklığının kararlılığını sağlayan, osilatör ve kontrol katmanlarındaki baglantı kuvvetine bağlı fonksiyonlar elde edildi. Nümerik çalışmalar ışığında Lévy sürecinin belirli bir gürültü şiddeti seviyesine kadar frekans ve faz senkronizasyonunun kontrolünün yapıldıgı, sonrasında ise bunun mümkün olmadığı sonucuna varıldı.